ヤフオクなど個人売買で小型バイクを譲り受けた場合、車両の登録は一旦廃車して、新所有者があらたに市役所で登録し直すということになります。
しかし、自賠責保険（強制賠償保険）の契約期間がまだ残っている場合は、まだ使えます。
自賠責保険の残を売買するのか、タダでサービスでつけるのか、解約して返戻金をもらうのか、自分の新しいバイクに使うから、アンタは新しく入ってね、とするのかは、個人同士の場合、持ち主が自由に決めて構いません。
同意があればOKです。契約自由の原則といいます。
クルマの業者買取なんかだと、残何ヶ月以上で査定がいくらアップ、なんて商慣習がありますけど、小型バイクだと、少額ですし、そんなに気にしないかもしれないですね。
自賠責保険の名義変更手続き
譲り受けた自賠責保険は、名義変更（権利譲渡）できますが、これはけっこう面倒くさいです。
自賠責保険の加入はインターネットでできますが、名義変更はそこまで対応できていなくて、保険会社の本店や支店に行って、手続きしないといけなかったりします。（ネット対応している保険会社もあるのかな？）
必要書類は、自賠責保険証明書と、旧契約者の印鑑と自分の印鑑を押した異動承認請求書、バイクの登録申告済証です。
異動承認請求書は、保険会社の窓口でくれます。各社共通です。本来、譲渡する側が自分のハンコを押して用意しておくべきものですが、そこまでしてくれる人は少ないと思います。
押印済みの異動承認請求書がない場合は、バイク譲渡の契約書がいるとか、印鑑証明や身分証明書がいるとか、面倒くさいことを言われるようです。
自賠責保険は名義変更しなくても問題なし
勝手に認印を買ってきて、書類を作れそうなもんですが、これは有印私文書偽造になります。実は私、クルマ屋に勤めていた時、結構やってました。
中古車の譲渡書類一式に自賠責の異動承認請求書がついてないことって、結構多かったんです。（査定価格がゼロだったからと思われ。）
契約者名が前のままだとしても、事故の際の保険金は支払われますので問題はないんですが、お客さんに渡す書類に前の人の個人情報が入っているのもアレですので、勝手に名義変更してました。
100円ショップに行って、ハンコを買ってきて、ストックしてある異動承認書にポンポンと押して、保険会社にいっておりました。
まあ、「およそ社会的信用性を害し得ない態様での偽造」なんで処罰されないでしょうし、5年経っているので時効です。
個人売買の場合、どうせ相手の個人情報はわかっていることですし、手間なだけですから、名義変更はしなくてもいいと思います。
ただ、保険切れの通知は誰もしてくれませんので、更新は忘れないように注意いたしましょう。
元の契約者には、保険会社からお知らせがあると思いますが、前オーナーがわざわざ知らせてくれるとは思えないです。
自賠責保険の更新忘れ（期限切れ）に注意
自賠責保険の契約期間が過ぎて、無保険の状態で運転すると、これは罰則があります。
1年以下の懲役または50万円以下の罰金、行政処分は6点の減点で一発免停です。原付で免停になっても、車の運転もできませんので、えらいことです。
自賠責証書不携帯も30万円以下の罰金となっております。バイクに入れられるものなら、常時備え付けておきましょう。（コピーを自宅保管）
ナンバープレートへのステッカー（保険標章）の貼り付けも忘れずに。これも30万円以下の罰金です。
追記
保険会社の窓口なら書類不備でも名義変更できた件
カブ仲間がヤフオクで落札したカブに、2年の有効残がある自賠責保険がついていたんですけど、承認請求書がついてませんでした。
名義変更をしていないと、万一の事故の際の手続きが面倒かも、ということで保険会社の窓口に相談に行き、ヤフオクで買ったということを伝え、バイクの登録書類を見せたらハンコ無しで名義変更してもらえたそうです。
あまりの簡単さに拍子抜け。
保険会社によって対応は違うかもしれませんが、東京海上日動火災保険はそんなかんじでOKということで。